統一土的變形參數的實用本構模型

統一土的變形參數的實用本構模型

楊光華

（廣東省水利水電科學研究院，廣東省巖土工程技術研究中心）

2024.09.19

摘要：為解決土的復雜變形問題，提出了很多的本構模型用于表述土的變形特性。目前存在模型多，模型的參數多，不同的模型采用不同的參數，參數缺乏物理意義，缺乏統一的模型參數，工程應用難的問題。土的強度則統一用莫爾—庫倫強度準則，統一用粘聚力c和內摩擦角φ表達土的強度參數，非常方便應用，使得工程中土的強度問題得到較好的解決，值得借鑒和參考。為此，土的變形問題也應采用統一本構模型，模型的參數采用統一的變形參數來表達，使不同的土的變形參數能具有可比性，才能更好的方便應用。為此，本文在廣義位勢理論基礎上提出統一的彈塑性本構模型方程，模型參數可以統一用常規三軸試驗獲得的非線性切線模量E_t、泊松比μ_t來表達，這兩個土的變形參數反映了土的非線性，壓硬性、原狀性的主要變形特點，既可用于彈塑性模型，也可用于非線性彈性模型。當假設應力應變曲線為雙曲線時，非線性的切線模量E_t可用簡單的變形參數來表征：土的初始切線模量值E₀，強度參數c、φ。這三個參數物理意義明確、易于確定，方便工程應用，可較好滿足工程精度的要求，有望為工程提供一個統一的實用模型，破解工程應用的問題。

1 前言

土的強度和變形是土力學的兩個基本問題，土的強度問題解決得較好，相對較成熟，主要原因是有一個公認統一的強度理論：莫爾—庫侖強度理論，該理論所需的參數較少，就是黏聚力c和內摩擦角φ。雖然試驗確定c、φ參數有時也難以準確，但由于參數少而簡單，不同的土具有很好的可比性，隨著應用時間的增長，積累的經驗多，基本能判斷c、φ值與土的物理性狀的關系，因而有較好的把握確定c、φ的合理范圍。

而土的變形，由于土是非線性的，變形特性復雜，通常是通過所謂的本構模型來表述，但目前模型眾多，依據的理論也不統一，模型的參數多而不統一，尚未形成統一的模型、統一的模型參數，致使土的變形問題跟土的強度問題相比，遠未成熟，模型多而難用。要解決土的變形問題，應要像土的強度問題那樣，建立統一表達的模型，統一的參數，模型的參數能用方便確定物理意義明確的變形參數來表示，像土的強度參數c、φ那樣便于應用，才能較好的破解本構模型難應用的問題。

2 土的變形特性及表征參數

要解決土的本構模型問題，參考土的強度問題的經驗，應該是找到能較好表達土的變形特性的參數，然后統一用這個參數來建立本構模型，不斷積累變形參數的經驗值，方便應用。

土的主要變形特性可以用兩個試驗來確定，一是壓縮試驗，二是常規三軸試驗。

土力學教科書多數是把土的沉降變形看作為土體壓縮所致，因此，對土進行一維壓縮試驗，獲得其壓縮變形曲線如圖1a)、b)所示。

對正常固結土的壓縮指數為一常數，對土是一個很好的指標，壓縮指數由e-lgp曲線確定：

如圖1d)所示。一般認為低壓縮性的土C_c值小于0.2，高壓縮性的土C_c值大于0.4，對認識土的壓縮性是一個很好的指標。

土的另一個表示壓縮性的指標是壓縮模量E_s，由e-p曲線確定壓縮系數：

如圖1c)所示。土的壓縮模量表示為側限條件下的應力應變模量：.

通常工程中用p =0.1MPa~0.2MPa對應的壓縮模量來表示土的壓縮特性，記為E_s1-2，一般淤泥土的E_s1-2 =1.8~2.5MPa，淤泥質土的E_s1-2 =3~4MPa，這樣的指標較易判斷。但對于結構性土，壓縮參數只能反映擾動后或重塑土的特性，對原狀性土不能反映。

用壓縮指數或壓縮模量可以較好反映土的壓縮性，已成為大家的共識，這是反映土體壓縮性較好的指標，應用很方便。

但土的變形特性復雜，壓縮特性不能全面反映土的變形特性，進一步的研究揭示土具有非線性（剪軟性）、壓硬性（圍壓影響）、彈塑性和原狀性，常規三軸試驗可以更好反映土的變形特性，通常不同圍壓下土的應力應變曲線如圖2所示，由該曲線可以得到不同應用狀態下土的非線性切線模量E_t和切線泊松比μ_t，可以較好的表征土的變形特性。

隨著(σ₁-σ₃)增大，E_t變小，就是非線性（剪軟性），E_t隨著σ₃增大而增大，就是壓硬性，鄧肯—張模型假設曲線為雙曲線方程時，得出E_t、μ_t的表達式為：

需要8個參數，μ_t <0.5為剪縮，μ_t >0.5為剪脹，因此，μ_t較好判斷。

但對結構性土，存在取樣擾動，室內試驗較難反映現場原位土的真實特性，

楊光華提出可用現場原位壓板試驗確定土的初始切線模量E₀，這樣（5）式的E_t可以改造為下式：

這樣E_t就可以用E₀來表達了，E_t只需c、φ、E₀三個指標，方便了應用，E₀可以較好反映土的原狀性，更準確可靠，為進一步反映壓硬性。進一步又可增加一項改為：

則可以反映初始模量E₀的壓硬性。

m一般可取為0.5已有較好的效果。對軟土，E₀可用Es代替。

這樣，用c、φ、E₀、m作為表征土變形的參數，有（9）式即可較好表述土的非線性、壓硬性和原狀性，主要是增加土的初始切線模量E₀，如果按雙曲線假設，E₀ = 2E₅₀，E₅₀為土的變形模量，土的變形模量對于一些土可用標貫試驗經驗確定，如廣東地基設計規范等，可近似大致取為

N—為標貫擊數。

這樣，如果我們假設土的非線性變形符合或接近雙曲線方程，用雙曲線模型可以較好的表述土的非線性變形特性，則土的變形特性可用c、φ、E₀、m這幾個參數來表述，土的本構模型統一用這幾個土的變形特性的參數來表達，則這樣的模型就可方便于工程應用，具有較好的實用性，就像土的強度參數用指標c、φ那樣方便，可以較好的解決土的變形問題。

3 理論模型和參數的統一

目前本構模型的現狀是建立的模型不一致，依據的理論不同，所用的模型參數不同，這樣不同模型難以比較，也較難積累模型參數的經驗值和判斷參數的合理性，難以使模型方便和可靠的應用。要破解這個問題，需參考土的強度問題，形成統一理論、統一模型，采用統一的簡單易確定的變形參數來表達，這樣才能破解模型應用性的問題。

以目前研究最多的彈塑性模型為例，建立模型需要屈服函數、塑性勢函數和硬化參數，而不同模型有可能屈服函數、塑形勢函數和硬化參數都不同，更難統一參數，不方便應用。其實如果從廣義位勢理論出發，最后的本構方程是與屈服函數、塑性勢函數無關的，因此，要解決理論統一、模型統一應該從廣義位勢理論出發，則其彈塑性本構方程為^[1]：

其中，[De]為彈性矩陣。A、B、C、D四個參數為：

考慮彈性變形后，則為：

其實所有的彈塑性模型最后都歸結為（12）式的彈塑性矩陣，而按廣義位勢理論的模型，模型只需要通過試驗確定四個系數ABCD即可。而這4個系數，通過假設，可以進一步用前面的土的變形參數來表達。例如，假設滿足傳統的關聯流動法則，則有

在常規三軸試驗條件下，由式（15）式可得：

由(16)、（17）四個方程，即可以得到用E_t、μ_t和彈性體積模量Ke和彈性剪切模量Ge表示的ABCD四個系數：

則彈塑性本構方程即可確定。這樣的模型只需用E_t、μ_t和彈性體積模量Ke和彈性剪切模量Ge這幾個參數即可以。

比較劍橋模型和廣義位勢理論模型，也可以從劍橋模型中得到廣義位勢理論模型的參數。

比較（14）和（20）、（21）式可見，從劍橋模型或修正劍橋模型，也可以得到ABCD四個參數，從其他的彈塑性模型也可以得到ABCD四個參數?？梢姀V義位勢理論模型彈塑性矩陣具有統一性。

由前面可知，土的主要變形參數E_t可由E₀、c、φ、m這4個變形參數表達來確定，μ_t的變化不大，有時對變形影響不大時，可假設為一常數，這樣我們只需這4個參數即可。對不同的土，這幾個參數易于比較和方便確定，則應用就方便了。而參數中c、φ已在強度中解決，對非飽和硬土，通常m = 0.5左右即可有較好的效果，這樣僅剩E₀，最好用現場原位壓板試驗確定，以解決室內試驗對土樣擾動的影響，或建立其他原位試驗與E₀的經驗關系，如用標貫試驗、靜力觸探等，這樣，就解決了土的原位性問題。

對于軟土地基，則可以通過壓縮試驗確定的E_s來確定E₀。

這樣像土的強度問題那樣，我們采用足夠精度的統一模型，形成統一的變形參數來確定本構模型的參數，而這些土的變形參數又能較方便可靠的確定，就可以提高模型計算的準確性和可靠性，推動本構模型的工程應用，最后可以像強度問題那樣較好地解決土的變形問題。

結語

1. 土的強度問題解決得較好，主要是統一應用了莫爾—庫侖強度準則，剩下的就是強度準則的兩個參數黏聚力c和內摩擦角φ了，不同的土都用了相同的這兩個指標來表征土的強度特征，這樣不同的土就可以相互比較，甚至建立與土的物理指標的一定的關系，從可以較容易判斷指標的合理性和可靠性，這就保證了強度計算的可靠性，使地基的強度設計理論與方法相對得到了較好的解決，這應該是解決土的變形問題值得學習和借鑒的地方。

2. 土的變形問題主要是通過本構模型來解決。但目前本構模型眾多，模型參數多且不統一，有些參數也缺乏物理意義，不同的模型采用不同的參數，難以比較不同的土的參數的合理性和可靠性，也不易通過土的物理參數來辨識模型參數的合理性，工程中較難應用。這是影響本構模型工程應用很重要的原因。應該參考強度問題的解決方法，統一模型參數，用盡量少而物理意義明確的變形參數，才能積累不同土的參數的經驗值，方便應用。

3. 廣義位勢理論模型是解決統一模型和參數的有效方法，從數學原理出發，假設清楚，可以統一應用常規三軸試驗、三維壓縮試驗確定參數，可以考慮原狀性，為統一土的變形參數提供了理論基礎。在這一理論模型下，可以統一應用切線模量E_t、切線泊松比μ_t和壓縮曲線的壓縮模量E_s或壓縮系數λ確定模型參數。當對土的應力應變曲線采用雙曲線表述時，非線性切線模量E_t可以用幾個簡單的土的變形參數來表示：c、φ、E₀、m。這些參數物理意義明確，參數數量少，可以較易確定和比較不同土的參數，積累不同土的參數的經驗值，提高參數的可靠性和方便應用。對一些簡單問題，也可以假設泊松比μ_t為常數。這樣的模型理論基礎好，模型簡單且有統一性，不同的土采用統一的變形參數，精度可以滿足工程需求。由此可以形成方便工程應用的實用模型。這應該是破解土的本構模型應用，解決土的變形問題的有效途徑。

4. 對于通常的工程問題，常規三軸試驗和雙曲線方程已足夠反映土的主要變形特性，如非線性、壓硬性，再考慮土的原狀形，應該可以較好解決大部分工程的變形問題。如果認為雙曲線方程不足以表述土的變形特性，也可以直接從試驗曲線上得到不同應力狀態的切線模量E_t、切線泊松比μ_t代入模型，則可以適應各種試驗曲線。用E_t、μ_t于廣義位勢理論則可以建立彈塑性模型，用于廣義虎克定律則可以建立非線性彈性模型，應用方便。

主要參考文獻：

[1] 楊光華,李廣信,介玉新著《土的本構模型的廣義位勢理論及其應用》[M]，北京：中國水利水電出版社，2007年

[2] 李廣信 《高等土力學》[M]，北京：清華大學出版社，2002.[3] 楊光華，巖土類材料的多重勢面彈塑性本構模型理論，巖土工程學報，1991年第5期。

[4] 楊光華，一個無需塑性勢函數的新的土體彈塑性本構模型，《水工結構工程理論與應用》，大連海運學院出版社，1993年6月。

[5] 楊光華，李廣信，巖土本構模型的數學基礎與廣義位勢理論，巖土力學，2002年第5期。

[6] 楊光華，土的現代本構理論的發展與回顧展望，巖土工程學報，2018年第8期。