論水力坡降與梯度

論水力坡降與梯度的故事

最近讀了丁洲祥的一篇文章，很有收獲。目前在土力學界，關于水力坡降的理解與應用確實存在較混亂的形象。

按照工程師的習慣，可從定義圖1中來理解達西定律。土中Dl為土中水從上游流到下游的滲徑；Dh為上、下游之間的水頭差，或水從上游流到下游的水頭損失值。這樣

                             (1a)

                                (2a)

達西定律表示為：

                                (3a)

圖1土中水的滲流

其實這種定義與解釋很容易為工程師們所理解和應用。在不少教材中也是這樣定義和表述的，但有的教材和教師沒有講清楚，或者沒有特別強調。

從數學、力學角度看，這種說法不夠嚴密。在數學中，Dh或者dh表示的是增量，是后者減前者，即Dh=h₂-h₁。有的教材與著作將叫做水力梯度。這樣Dh就是水頭增量。它是個向量，是有方向的，在圖1中它應是負值，圖中的Dh實際上表示的是其絕對值，即。則

                             (1b)

                                (2a)

                               (3b)

一個用勢函數描述的滲流場，一點的水力梯度的方向與過該點的等勢面的法向方向重合的，并指向其勢增加的一方，亦即為勢函數變化率最大的方向。而水往低處流，流速v則是指向低勢能方向，所以與水力梯度方向相反，兩個向量規定的正方向是相反的，即v=-ki。這種表示方法，在數學上是嚴密的，在滲流數值計算中也是正確與合理的。

可是在土力學中，人們聰明地把叫做水力坡降。這意味著它是指向勢能最大減少率的方向，即它是與梯度方向相反的向量。則

                             (1b)

                                (2b)

達西定律表示為：

                                (3a)

由于對水力坡降作了明確的定義，達西定律的表示形式也沒有變化，比較容易為工程師及學生接受。在滲流數值計算中也沒有障礙。但是通常人們并沒有特別指明水力坡降的定義：“是與梯度方向相反的向”。

盡管土力學是一門很土的力學，但既然稱之為力學，就應遵循數學力學的游戲規則。在土力學的教材和文、書中，在名詞術語、正負號和符號標注中，確實存在著不少缺陷與漏洞，常為人家腹誹與詬病。

在邊坡穩定分析中，需要在所有可能的滑動面中找出最小的安全系數和相應的滑動面（臨界滑動面）。對于一元函數，其極值點即為導數為零的點，即：

                                   (4)

對二維、三維問題問題，就是求泛函的最小值問題。所謂泛函就是“函數的函數”。牛頓法通過解析手段尋找使目標函數F_s對自變量Z_i的偏導數為零的極值點(?F_s/?z_i=0, i=1，2，...，n)。此類方法中也以導數為研究的主要對象，因此，也稱為以導數為基礎的方法(Gradient－based method)。牛頓法中常用的有負梯度法和DFP法。

求極值效率最高的方法當然是從數量場中的某一點沿著變化率最大的方向搜索，由于我們要找的是最小安全系數，所以應沿著較少率最大的方向，所以稱作“負梯度法”。這是一個很聰明的叫法，如果在前面稱水力坡降為負梯度，那就既省事，又清楚了。

有人在梯度法基礎上發展了“瞎子爬山法”來搜索最小安全系數。這是由于一個瞎子看不到山的頂峰，他可以用腳（或手杖）向各個方向試探，體會最大上升率，即山坡的梯度，然后適當地邁出一步，達到一個新的高度；如此一步步地前進可以最有效、最省力地登上頂點。對于搜索最小的安全系數，瞎子實際是要下山，即沿著負梯度尋找坑底，但這的風險就大了，一不小心就會落入水坑。

圖2 唐山地震的烈度分布圖

在小學時，學過一篇課文，叫“瞎子摸象”。據說一群瞎子沒有見過大象，有一次來了一頭溫順的大象，瞎子們請求摸一摸，主人答應了。于是摸過以后有的說原來大象就像一面墻；有人反駁說像一根柱子；有人嘲笑道：哪里，明明像一條皮管嗎。

瞎子爬山法尋找極值還有一個缺點，那就是往往找到的是局部極值而非整體極值。圖2是1976年唐山地震的烈度分布，可見烈度并非是以震中為圓心的同心圓。天津附近就是在相對高烈度區中的局部極小值區；而寧河地區則是相對低烈度區中的局部極大值區。我的老家就在那里，地震中一個堂弟的全家都犧牲在這個極值里。

如果要在這么大的區域里尋求最高峰，恐怕不是瞎子也難以一目了然，那就要用無人機攝像了。