安全系數、荷載與抗力（二）—— 安全系數的定義與表達

（1）安全系數的定義

單一安全系數法中的安全系數最基本和能被普遍接受的定義就是抗力與荷載之比，即：

   (1)

通常講的安全系數有兩種含義，其一是計算的安全系數，另一是穩定安全系數。在巖土的穩定分析中，人們進行各種計算，得到相應的安全系數。由于計算的部位、條件和方法不同，對于同一個問題會得到很多計算的安全系數。對于一個簡單的、靜定的，常常只需一次計算即可得到其安全系數，并用于判斷其安全度；而更復雜的、超靜定的情況，首先需要對于一定的邊界條件（例如一個滑動面）進行反復迭代的計算，然后還要搜索更多的滑動面，尋找最危險的情況（潛在的滑動面）和最小安全系數，用以判斷其安全度。穩定安全系數也可理解為最小容許安全系數，它是根據經驗人為規定，用規范或法規的形式頒布的。它是針對巖土性質、荷載頻率和工程重要性以及計算方法而不同的。

在巖土工程的承載能力極限狀態設計中，安全系數法用于很多場合與領域。如擋土墻的抗滑移、抗傾覆穩定；巖土邊坡的抗滑穩定；基礎工程中的地基承載力驗算；水利工程、基坑工程、市政工程中的滲透穩定分析等。另外在地質災害中也大量應用安全系數法進行分析、預警和治理。具體的計算分析方法也層出不窮，因而在不同的領域會也有安全系數不同的表達方式。

式（1）表示安全系數簡單直觀、易于理解，K的大小也會使人直觀上理解為安全度的高低。但從文（一）中的圖1可以發現，如果以抗力與荷載的均值計算安全系數，在K值相同的情況下，二者的風險與安全度是不同的。所以如某規范中給出的穩定安全系數高達3.0~4.0，除了工程可能重要外，很大可能是人們（包括頂級的專家）對于該課題沒底，存在太多的無法預估的不可確定性和變異性。

2 流土中的安全系數

《建筑地基基礎設計規范》GB 50007-2012中的9.4.7指出：“地下水滲透穩定驗算，當基坑底土為隔水層，下部具有承壓水頭時，坑內土體應按本規范附錄W進行抗突涌穩定驗算”。如圖1所示。其中坑底t+Dt以下土層為含承壓水透水砂層，含水層以上為黏性土隔水層，則滲透穩定規定按式(2)驗算：

圖1 滲透穩定的示意圖

 (2)

式中的g_m為上層土的天然重度；揚壓力p_w=g_w(t+Dt+Dh)。在這種情況下，如果承壓水向上形成穩定的滲流，則g_m為飽和重度g_sat，這種滲透穩定問題就是流土。設黏土的飽和重度g_sat=20kN/m³，Dh=2m，t+Dt+=5m，則安全系數K=100/70=1.43。

如果用土骨架為隔離體的靜力平衡，流土安全系數可表示為

(3)

在上述條件下，j=ig_w=2/5×10=4kN/m³，安全系數K￠=10/4=2.5?？梢娡粋€問題，按照式(3)，用土骨架的有效應力表示，則安全系為系數為2.5；按照飽和土的總應力表示，安全系數為1.43 。

如果用飽和土體作為隔離體，式(3)分子分母同時加上水的重度g_w，在豎向靜力平衡條件下

(4)

如果式(2)中的g_m為飽和重度g_sat，則式(2)與式(4)是等效的?？梢姴煌谋磉_，會得到不同的安全系數值。

從式(2)可以看出，它就是單位面積上的向下的黏性土重力g_m(t+Dt)與向上的承壓水的揚壓力p_w之間的靜力平衡，如果基坑的開挖速度很快，對于滲透系數很小的黏性土不會形成穩定的滲流，只是隔水層豎向被承壓水壓力鼓起，屬于一種坑底隆起(heaving )的問題，所以在基坑工程中稱為“突涌”是合適的。如果已經發生穩定的向上滲流，則式(2)與式(3)都是流土的安全系數計算公式，只不過前者以飽和土體為隔離體；后者以土骨架為隔離體。

(3) 邊坡穩定分析中的安全系數

邊坡穩定分析在巖土工程中是相對最復雜最重要的課題，其中安全系數也就有很多表達方式。

對于式(1)的K=R/S這種表示可以變化為S=R/K ，或者R=KS。前者的安全系數可稱為“抗力折減系數”或“強度折減系數”；后者可稱為“荷載放大系數”?？沽φ蹨p系數最早為Bishop所提出，目前大多數極限平衡邊坡穩定分析非法都在使用它；近年來在有限元邊坡穩定分析中也被廣泛地應用，其中c_e=c/K，tanj_e=tanj/K，或

 (5)

“荷載放大系數”可寫為，S_e=KS，極限狀態是R=S_e。即：

(6)

如果計算是簡單的或者高度簡化的，例如用瑞典圓弧法邊坡穩定分析，由于不計一切條間力，以滑動力矩與抗滑力矩間的關系計算安全系數，在處于極限平衡時，以荷載放大系數表示，

 (7)

以抗力（強度）折減系數表示

(8)

從（7）、（8）兩式都可以得到相同的安全系數的顯式表達式：

  (9)

但是在一些考慮條間力的相對復雜的邊坡穩定分析中，則式（1）中的抗力與荷載可能你只有我，我只有你。例如簡化畢肖甫法采用強度折減系數為安全系數為：

(10)

其中

將安全系數表示為強度折減系數，無法或者很難從式(9)直接計算出該滑動面的安全系數，因為系數m_ai中含也有安全系數，式(9)成為隱式解，需要通過迭代算得安全系數；而在瑞典圓?。l分）法中，則沒有這個問題，荷載放大系數與強度折減系數都可用顯式解一次得到安全系數。

傳遞系數法亦稱不平衡推力法，又稱剩余推力法、剩余下滑力法、推力傳遞法、余推力法等。它適用于任意形狀滑動面的情況。它有隱式和顯式兩種方法，其中顯式可以用公式直接計算安全系數。這是極少的可用任意滑動面，而又不必須使用計算機程序，可采用手算的邊坡穩定分析方法，為我國工程技術人員所歡迎，也為一些行業所偏愛，我國的很多規范和手冊都規定或推薦使用它。但是用強度折減系數表示安全系數就要用隱式解。

 ①傳遞系數法的顯式解

傳遞系數法計算邊坡的安全系數，終點的條塊上最后滑動面上的剩余推力表示為式(11)

G_n=0          (11)

圖2傳遞系數法的條間力

       所謂顯式，就是可以通過方程式直接計算出安全系數F_s的方法。為此將安全系數定義為式(6)所示的條塊滑動力T_i乘以放大系數，這樣，安全系數就變成了超載系數，或荷載放大系數。這樣，在極限平衡條件下，每一條塊的滑動力就變成：

（12）

用式(9)的G_n=0條件就可以得到安全系數F_s的顯式表達式：

       （13）

其中的T_i 、R_i和y_j分別為第i條塊的滑動力、抗滑力和剩余下滑力的傳遞系數，可見這樣式（13）的右側不含未知數K，從而可以直接計算。在實際上，也可從頂部開始一步步向下逐條計算，最后用第n條的抗滑力與滑動力之比計算安全系數K。 

 ②傳遞系數法的隱式解

       所謂隱式解是認為安全系數為抗力儲備的折減系數，以和分別代替c_i和tanj_i，亦即變為：

         （14）

    （15）

由于式中的R_i和y_j本身都包含有安全系數K，不能通過式（13）直接計算出K?？梢约僭O一系列的安全系數，通過迭代與試算，逐步收斂于式（11），即G_n?0， 對應的安全系數即為隱式計算的安全系數。

圖3用傳遞系數法計算邊坡

圖3為一用傳遞系數法（不平衡推理法）計算的邊坡例題，對幾個始點與終點相同，圓弧的圓心角不同的滑弧分別用顯式法和隱式法進行計算，土坡的g=17kN/m³, c=50kN/m²，j=35°。從表1可見其計算的結果可以相差很大。

表1 不同方法計算的安全系數

其中以畢肖甫法為基準，可見兩種定義安全系數的傳遞系數法計算的安全系數都偏大，這說明該方法的計算精度不如畢肖甫法，但隱式法的結果與畢肖甫法足夠近似，而顯式法則偏差很大，尤其是在圓心角較大時。

鄧肯在1996年對25年以來邊坡穩定分析的條分法和有限元法的進展做了綜述報告。對于各種條分法的安全系數以及計算精度和適用范圍，得出以下幾點經典的結論：

（a）傳統瑞典圓弧法的安全系數在j=0°分析中是完全精確的，對于圓弧滑裂面的總應力法可得出基本正確的結果。該方法不存在數值分析問題；

（b）簡化畢肖普法在所有情況下都是較精確的，其局限性在于僅適用于圓弧滑面以及有時會遇到數值分析問題。如果使用簡化畢肖法計算得到的安全系數反而比瑞典法小，那么可以認為畢肖普法中存在數值分析問題。在這種情況下，瑞典法的結果反而比畢肖普法好?；谶@個原因；

（c）僅僅使用靜力平衡方法的計算結果對所假定的條間力方向極為敏感，條間力假定不合適，將導致安全系數嚴重偏離正確值。與其它考慮條間作用力方向的方法一樣，這類方法也存在數值分析問題；

（d）滿足全部平衡條件的方法(如Jnabu法，Morgenstern-Price法和Spencer法)在任何情況下都是精確的，所有這些方法也都存在數值分析問題。

這里所謂的“數值分析問題”，主要是指  ①當滑動面反翹，且j值較大時，有時無法保證豎向力的平衡； ②有時在迭代計算時，無法收斂，或收斂性很差。這也與以強度折減系數定義安全系數有關。

（4）安全系數的其他表示方法

近年來用有限元法進行邊坡穩定分析也有較快的發展，與各種條分法不同，有限元法是考慮了變形協調，因而不存在為了滿足全部力的靜力平衡而作出假設，但其中的安全系數就與傳統的概念有別，例如上述的強度折減法，由于判斷邊坡失穩的標準不同，其計算得到的安全系數不同，也與有關規范中針對各種條分法而規定的穩定安全系數有差異，用于工程設計中就有困難。

① 材料強度安全系數

這種定義最早用于材料力學以及結構構件，即以材料的強度與其實際的最大應力之比定義安全系數，對于巖土材料即以其抗剪強度與剪應力之比，即

          (16)

但這是滑動面上局部的安全系數，滑動面上各處的安全系數都不同；在用于有限元法時，常常沿滑動面平均，得到的平均值作為邊坡在在此滑動面的安全系數。另外，滑動面在每一點的滑動方向不同，其中的剪應力 t也難以合理確定。

 ② 矢量和法安全系數

葛修潤院士在2008年的黃文熙講座中介紹了他所提出的“矢量和法安全系數”的概念。他首先指出了在折減系數有限元邊坡穩定分析中的一些問題，同時指出常規的安全系數定義是抗滑力（矩）與滑動力（矩）的代數和之比，即

    (17)

式(15)對于圓弧形滑動面是合理的，但是通常潛在滑動面非圓弧，可能為折線形，也可能為任意曲線，對于巖質邊坡更是如此。他提出的矢量和法安全系數的表達式為：

      (18)

式中θ為滑坡的計算方向，它是滑坡整體潛在的滑動趨勢方向，可表達為

       (19)

式中t_i為用有限元法計算的潛在滑動面在i點的滑動剪應力，Dl_i為所取的滑動面i點處微線段，a_i為滑動面在該點的傾角。

可見這種安全系數的定義，就是把作用在各小分段的滑動力矢量按矢量和合成導致可能發生滑動的力矢，稱為滑動力矢；把作用于潛在滑動面上各小分段的抗滑力矢量，通過矢量和形成總的抗滑力矢，總抗滑力矢與總滑動力矢之比就是計算的安全系數。