聊一聊英倫土力學（三）土中水的滲流和超靜孔隙水壓力

 聊一聊英倫土力學（三）— 水在土中的滲流和超靜孔隙水壓力

余瑞旺

簡介：本文討論水在土中的滲流（seepage）以及由此衍生出來的話題：超靜孔隙水壓力(excess pore-water pressure， 區別于靜孔隙水壓力)和滲透力（seepage force）。

地下水的三種狀態

地下水對于巖土工程設計就好比地理位置之于房地產物業。時不時在新聞中聽到基坑周圍發生沉降甚至基坑發生塌陷，很多都可以和水聯系到一起。在巖土工程中，我們會遇到三種地下水狀態：（1）靜水壓力狀態（hydrostatic state），（2）穩定滲流狀態（steady state seepage），（3）滲流固結狀態（consolidating soil）。在前兩種狀態中，土中任一點的孔隙水壓力都是不變的，而在第三種狀態中，土體中的孔隙水壓力是在隨時間變化的。圖1是這三種狀態的示意圖。在詳細解釋這三個狀態前，非常有必要厘清三個基本概念：（1）壓力水頭（pressure  head）；（2）位置水頭（elevation head） 和（3）總水頭（total head）。壓力水頭和孔隙水壓力的關系有如下關系：

這里想強調一下，式（1）適用于上述任一種地下水狀態。只要我們測到了孔隙水壓力，我們就可以計算得到壓力水頭。位置水頭是一個相對的概念：它指的是某一點距離基準面（datum ）的垂直距離（基準面由人為定義，一般都定義為水平面）。由定義可知，位置水頭是不定的，取決于分析問題時取的基準面；但是，壓力水頭和基準面的選取無關?？偹^是壓力水頭和位置水頭的和。圖1(a)中，A點和B點的壓力水頭分別是，它們的值正好是它們到地下水位線的豎直距離。圖中可以看到，A點的壓力水頭大于B點的壓力水頭，但是A的位置水頭小于B的位置水頭，總水頭這兩點正好相等。問題來了，水會從A流到B或者B流到A嗎？這就引出了巖土工程中一個基本話題—水在土孔隙中的流動。達西1856年已經告訴我們這可以用如下的式子描述：

k是土的飽和滲透系數（coefficient of permeability或者叫hydraulic conductivity，單獨說permeability嚴格上講是不準確的），i是水力梯度（hydraulic gradient），是兩點間的總水頭差，是兩點間的距離。這個式中的負號一定不要丟了（后面的內容很快會談到這個），也即是說。那根據這個式子，既然A點和B點的總水頭相等（=0），那么A點和B點間不會發生水的流動。其實在圖1（a）所示的靜水壓力狀態下，任意兩點的總水頭都是相等的。我們就知道了靜水壓力狀態描述的其實是土里的一潭死水：不僅孔隙水壓力不隨時間變化，而且還沒有水的流動。圖1（b）更有意思了，地面不是水平的。了解邊坡的朋友們會發現這可以是一個無限長的斜坡 （infinite slope），無限長的斜坡我們通常默認的一個假設就是地下水位和邊坡面平行?，F在我們來觀察一下A點的各類水頭。位置水頭很容易確定，就是A點到基準面的垂直距離。它的壓力水頭，仔細的朋友會發現這次測壓管里面的水位并沒有升到地下水位線那里，而是升到C點所處的高度（C點是從A點作垂直于地下水位線的垂線的垂足）。類似地現象在B點也可以觀察到。這里有兩個問題：（1）為什么A點（或者B點）的測壓管里的水位沒有到該點豎直方向上的地下水位線，而是到C點所處的高度？（2）A點和B點間有水的流動嗎？

問題（1）的解答是這樣的：在無限長邊坡中，穩態滲流狀態下，處在垂直于水位線上的任何兩點的總水頭相等。C點的壓力水頭是零（正好在地下水位線上），它的總水頭就等于位置水頭。A點的總水頭要和C點一樣，那么A處測壓管的水位就必須剛好升到C所處的高度，這樣A點的位置水頭加上壓力水頭就正好等于C的總水頭了。問題（2）：顯然A點和B點之間總水頭不一樣，A點的總水頭大于B點的總水頭。根據式（2），A到B，，，由于水是由A流向B，即v>0：

所以水力梯度中那個負號一定不能少，愛挑刺的朋友可以看看你手頭上和土力學相關的書有哪些把這個符號丟掉了。在穩定滲流狀態中，土中的水是流動的，但是每一點的壓力水頭(或者說孔隙水壓力)是穩定的。

最后一種狀態，如圖1（c），滲流固結狀態。由于某種外加作用（比如靠近B點處的局部加載），B點的總水頭高過A點，那么就會有水從B流到A點（注意這就是滲流）。這種滲流伴隨的可能還有B處附近土體的變形（由滲流導致的固結，consolidation）。這個情況下，土中的水不僅僅是流動的，而且壓力水頭（孔隙水壓）是隨時間變化的。而且，靠近B處的地下水位線不再是一條平行地面的水平線。有興趣的朋友可以參照圖1（c）建立一個數值模型，在B處加一個荷載，計算求解，然后就可以觀察到水壓的變化。圖2是我用GEOSTUDIO軟件建立的一個數值模型，用來幫助理解為什么可能會有圖1（c）這種情況的。初始時水位線假設正好在地面，我們可以看到B點出現了很大的孔隙水壓力（或者說壓力水頭），這是由于加載造成的，而后又可見到這一點的孔隙水壓漸漸減?。ㄟ@就是滲流固結）；而A點幾乎一直都沒有變化。圖中的計算結果本質上是數值模型求解了水的質量平衡和達西定理的組合方程（數值模擬中當涉及到固結時，還要假設一個土的本構模型，在這個例子中假設了土是線彈性的）。這里要強調多少變都不為過的是：當說到固結時，一定是既有滲流又有土的變形；而當僅僅是穩定滲流時，由于孔隙壓力不變，根據這個系列第二講中提到的有效應力原理，有效應力也不變（沒有外加荷載或者外加荷載不變的條件下），因此，土體不會有變形。

超靜孔隙水壓力

超靜孔隙水壓力（excess pore-water pressure），字面的意思來看就是超出靜孔隙水壓力的那一部分。比如在上面那個例子中，B點初始的靜孔隙水壓力接近為零，但是由于加載的作用，很快有將近400kPa的超靜孔隙水壓力出現。在圖1所示的三種地下水的狀態中，圖1（a）和圖1（b）土中任一點的孔隙水壓力都是靜孔隙水壓力，但并不是說孔隙水壓力不變時這個孔隙水壓力就是靜孔隙水壓力。圖3給出了一個土壩在上游水位上升而下游水位保持不變的情況下穩定滲流時的孔隙水壓力狀態。取任一點A點來說，我們把上下游水位相等時的A點的水壓力稱為靜水壓力。在上游水位上升并穩定以后形成的穩定滲流狀態下A點的孔隙水壓力就不再是靜孔隙水壓力了。值得提醒的是，圖3顯示的穩定滲流的結果并不是我們憑空想象的，而是理論上求解得到的（求解達西定理和質量守恒定律組合得到的方程，專業術語上這個方程就叫拉普拉斯方程，圖3是手畫的一個對準確結果的近似）。一般來說，邊界條件的改變（比如外加荷載，卸載，水力邊界條件改變（如上述圖2的例子））都可能導致超靜孔隙水壓力的產生。

滲透力

滲透力（seepage force）本質上是一個瞬態的概念。由于我們從事工程設計計算工作上很多都是假定穩態（靜態）條件，因此在工程設計時很少遇到它?？墒?，在工程施工時，由于施工過程是瞬態，比如施工處周圍水位的升降，因此不幸有施工事故時我們可能會遇到這個概念。滲透力的推導可以做到很復雜（比如Craig’s Soil Mechanics (8th Edition)）也可以做到很簡單。這里我將采用一個簡單直白的推導，得到的結果和用復雜的方法是一樣的。圖4給出了一個土樣處在兩種狀態下。在圖4（a）表示的靜水狀態下，為保持土樣受力平衡，底部除了除了一個大小為P2的孔隙水壓力還有大小為R的力（敏銳的朋友可以發現這個力就是試樣底部的有效應力）。而當土樣中有滲流時，我們發現相比于靜水狀態下，R減小了（敏銳的朋友又會發現這個力R還是試樣底部的有效應力），這個力就是當距離為L的兩點間存在滲流時（總水頭差為），單位面積受到的滲透力，它的方向和滲流方向一致。我們也可以得到單位體積滲透力的大?。?

可以發現，單位體積的滲透力的大小就是水重度和存在于單位體積內的水力梯度的乘積。

總結

聊完這么多一定要帶走的內容就是三點：（1）地下水的三種狀態，（2）某一點的壓力水頭不一定是它到地下水位線的豎直距離，（3）滲透力在有效應力的計算中已經考慮到了，當我們用有效應力的方法來分析時土體的受力，滲透力不用再額外考慮。

2017年3月

香港沙田