邊坡穩定性分析條分法最小解研究

方玉樹

（后勤工程學院，重慶 400041）

提 要：關于同一個圓弧形滑面邊坡穩定系數計算中瑞典法的解是否一定是所有條分法的最小解或在什么條件下一定是最小解的問題，目前還沒有答案。本文通過對簡化畢肖普法、斯賓塞法、簡化簡布法、美國陸軍工程師團法、傳遞系數法與瑞典法穩定系數大小關系的一一論證獲得了關于條分法最小解的一些規律性認識。

關鍵詞：邊坡；穩定性分析；條分法；最小解；瑞典法

1 引  言

很多算例顯示，用不同的條分法計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，以瑞典法(Sweden Method)的解為最小。有限個算例中存在的這一現象是否是一種普遍規律或在什么條件下是一種普遍規律？目前還沒有答案。本文分別借助滿足整體力矩平衡方程或滿足土條垂直方向和水平方向力平衡方程的條分法穩定系數公式的通用格式對簡化畢肖普法(Simplified Bishop Method)、斯賓塞法（Spencer Method）、簡化簡布法（Simplified Janbu Method）、美國陸軍工程師團法、傳遞系數法與瑞典法在同一個圓弧形滑面情況下的穩定系數大小關系進行了一一論證，在此基礎上總結出關于條分法最小解的一些規律性認識；最后還對在土坡無水壓力、無地震力和外加荷載、各土條條間力方向相同的條件下瑞典法穩定系數最小的現有證明之無效做了說明。

2 條分法穩定系數公式的兩類通用格式及其分析

2.1 滿足整體力矩平衡方程的條分法穩定系數公式的通用格式及其分析

條分法涉及的靜力平衡方程包括整體力矩平衡方程和各土條垂直方向和水平方向力平衡方程。

在瑞典法、簡化畢肖普法和斯賓塞法中，整體力矩平衡方程均得到滿足[1~3]。對圓弧形滑面，整體力矩平衡方程為：

式中——第i土條底面有效粘聚力；——第i土條底面有效內摩擦角；——第i土條底面總水壓力；——圓弧形滑動面半徑；——第i土條重心到圓心的鉛垂距離；——第i土條外加荷載作用點到圓心的鉛垂距離；——第i土條外加荷載；——第i土條外加荷載方向與鉛垂線夾角，外加荷載方向指向坡內時取正值，指向坡外時取負值；——水平地震系數；——第i土條底面長度；——邊坡穩定系數；——第i土條底面法向反力；——第i土條重力；——第i土條底面傾角，底面傾向與滑動方向相同時取正值，底面傾向與滑動方向相反時取負值； ——土條編號，…，，從位置最高的土條起編；——土條數量。

據此可寫出下列穩定系數公式的通用格式：

                    （2）

當邊坡均質時，（2）式可寫成：

                （3）

式中——滑面有效粘聚力；——滑面有效內摩擦角。

當邊坡無地震力和外加水平荷載作用時，（2）式可寫成：

    （4）

式中——第i土條外加垂直荷載。

當邊坡均質且無地震力和外加水平荷載作用時，（2）式可寫成：

    （5）

    從上述通用格式可以看出，滿足整體力矩平衡方程的條分法穩定系數與瑞典法的差異完全取決于條底摩擦力總和的差異，若某一條分法相對于瑞典法而言條底摩擦力總增量(為第土條條底法向力增量)，則該法穩定系數大于瑞典法；當邊坡均質時，若某一條分法相對于瑞典法而言條底法向力總增量，則該法穩定系數大于瑞典法。后面關于瑞典法與簡化畢肖普法和斯賓塞法穩定系數大小關系的分析將以此為基礎。

2.2 滿足土條垂直方向和水平方向力平衡方程的條分法穩定系數公式的通用格式及其分析

在簡化簡布法、美國陸軍工程師團法和傳遞系數法中，各土條垂直方向和水平方向力平衡方程均得到滿足[1~3]。對圓弧形滑面，土條垂直方向和水平方向力平衡方程為：

 （6）

（7）

    （8）

式中——第土條兩側垂直條間力合力；——第土條兩側水平條間力合力；——第土條底面剪力反力。

將（6）式乘以sin，（7）式乘以cos，然后相加并對從1到的個方程進行累加得：

           （9）

將（8）式代入（9）式并加以整理得下列穩定系數公式的通用格式：

           （10）

由于水平地震力和外加水平荷載的作用點并不位于（通常高于）相應土條底面中點，這些水平方向力的力臂即（2）式中的或不等于（通常小于），故（2）式與（10）式的格式是不同的。

當邊坡無地震力和外加水平荷載作用時，（10）式可寫成：

     （11）

比較（4）式和（11）式可知，此時（2）式與（10）式格式相同。

當邊坡均質且無地震力和外加水平荷載作用時，（10）式可寫成：

    （12）

比較（5）式和（12）式可知，此時（2）式與（10）式格式相同。

    從上述通用格式可以看出，在無地震力和外加水平荷載作用的條件下，滿足土條垂直方向和水平方向力平衡方程的條分法穩定系數與瑞典法的差異完全取決于條底摩擦力總和的差異，若某一條分法相對于瑞典法而言條底摩擦力總增量，則該法穩定系數大于瑞典法；當邊坡均質時，若某一條分法相對于瑞典法而言條底法向力總增量，則該法穩定系數大于瑞典法。后面關于瑞典法與簡化簡布法、美國陸軍工程師團法和傳遞系數法穩定系數大小關系的分析將以此為基礎。

3 均質條件下瑞典法和滿足整體力矩平衡方程的條分法穩定系數大小關系

3.1均質條件下瑞典法和簡化畢肖普法穩定系數大小關系

簡化畢肖普法假定條間力方向水平。相對于瑞典法而言，簡化畢肖普法第土條條底法向力增量完全由第土條兩側水平條間力合力引起，故有

         （13）

據此，相對于瑞典法而言，簡化畢肖普法法向力總增量為

          （14）

式中m——的土條數；k——時的土條數。

因                 （15）

且，故有?？紤]到，所以又有

另知，因此由（14）式知。

由此得出結論：在均質條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于簡化畢肖普法的結果。

3.2均質條件下瑞典法和斯賓塞法穩定系數大小關系

斯賓塞法假定各土條條間力方向相同。相對于瑞典法而言，斯賓塞法第土條條底法向力增量完全由第土條條間力合力引起，故有

       （16）

式中——土條兩側條間力合力傾角。

據此，相對于瑞典法而言，斯賓塞法法向力總增量為

     （17）

現區分時部分土條和時部分土條兩種情況進行分析。

對于時部分土條的情況，（17）式可寫成

（18）

式中m——的土條數；k——時的土條數。

因                 （19）

且，故有?？紤]到，所以又有

   

另知，因此由（18）式知。

對于時部分土條的情況，（17）式可寫成

（20）

式中m——時的土條數；k——時的土條數。

因                 （21）

且，故有?？紤]到時，所以又有

    

另知，因此由（20）式知。

根據上述可以得出結論：在邊坡均質的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于斯賓塞法的結果。

4無地震力和外加水平荷載條件下瑞典法和滿足土條垂直方向和水平方向力平衡方程的條分法穩定系數大小關系

4.1無地震力和外加水平荷載且邊坡均質條件下瑞典法和簡化簡布法穩定系數大小關系

簡化簡布法情況比較特殊，該法在假定條間力方向水平，按土條垂直方向和水平方向力平衡方程求得穩定系數初值以后，還要乘以一個與粘聚力、內摩擦角、重力密度和坡高有關的修正系數。經修正的穩定系數不再是力平衡方程的解，因而該方法從總體上講是一種帶有經驗性的方法。由于這個修正系數有時小于1，不能排除簡化簡布法的穩定系數小于瑞典法的可能，事實上，已經有這樣的算例[1]。因此，本文只對瑞典法穩定系數與簡化簡布法未修正的穩定系數大小關系進行論證。

經過與第3.1節完全相同的分析過程可以得出結論：在邊坡均質且無地震力和外加水平荷載的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于簡化簡布法未經修正的結果。

4.2 無地震力和外加水平荷載且邊坡均質條件下瑞典法和美國陸軍工程師團法穩定系數大小關系

美國陸軍工程師團法假定各土條條間力方向相同（等于邊坡平均坡角）。經過與第3.2節完全相同的分析過程可以得出結論：在邊坡均質且無地震力和外加水平荷載的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于美國陸軍工程師團法的結果。

4.3無地震力和外加水平荷載條件下瑞典法和傳遞系數法穩定系數大小關系

傳遞系數法假定土條條間力方向與上一土條的底面平行。第土條下側條間力因與第土條底面平行而對第土條條底法向力沒有貢獻，故相對于瑞典法而言傳遞系數法第土條條底法向力增量完全由第土條上側條間力引起，因此有

         （22）

考慮到即，，（），故有，（）即有，（），從而有。

由此得出結論：在無地震力和外加水平荷載的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于傳遞系數法的結果。

5 關于條分法最小解的認識

上述關于簡化畢肖普法、斯賓塞法、簡化簡布法、美國陸軍工程師團法、傳遞系數法與瑞典法穩定系數大小關系的分析中附加了不同的條件。對簡化畢肖普法和斯賓塞法要求均質，這是因為這兩種方法存在相對于瑞典法而言條底法向力增量（從而條底摩擦力增量）為負值的土條，強度指標不等時不能保證條底摩擦力總增量為正值從而不能保證其結果大于瑞典法。對簡化簡布法、美國陸軍工程師團法和傳遞系數法要求無地震力和外加水平荷載，這是因為這三種方法通常擴大了地震力和外加水平荷載的作用，有地震力和外加水平荷載時不能保證其結果大于瑞典法。

歸納瑞典法與簡化畢肖普法、斯賓塞法、簡化簡布法、美國陸軍工程師團法、傳遞系數法穩定系數的上述大小關系，有以下結論：在邊坡均質且無地震力和外加水平荷載的條件下用瑞典法、簡化畢肖普法、斯賓塞法、簡化簡布法、美國陸軍工程師團法和傳遞系數法計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果最?。▽喕啿挤ǘ?，穩定系數系指穩定系數初值或修正系數不小于1的修正值）。

曾有人試圖在土坡無水壓力、無地震力和外加荷載、各土條條間力方向相同的條件下證明瑞典法的穩定系數最小[4]，但沒有成功。

這一證明的思路是，如能證明瑞典法的任一土條條底法向力均最小，那么瑞典法的穩定系數必然最小。證明過程如下：

1.建立含有土條條間力合力傾角的條底法向力統一公式：

                          （23）

式中——第i土條底面粘聚力；——第i土條底面內摩擦角。

2.求對的偏導數：

                                           （24）

3.令其為0，得

    （25）

因上式正是瑞典法的穩定系數公式，故證明者認為在上述條件下瑞典法的解是最小解這一命題已經獲得證明。

上述證明是無效的，理由是：

1.（23）式不適用于瑞典法。因為瑞典法假設條間力為0，故土條兩側條間力合力方向是不確定的。將瑞典法對條間力的假定改為假定土條兩側條間力合力傾角等于其底面傾角，雖然能使（23）式適用于瑞典法，但會造成任意一個土條界面上作為作用力與反作用力的一對條間力不符合方向相反的條件從而違反了力學第三定律，而一旦失去了力學第三定律，瑞典法建立在靜力平衡方程基礎上的穩定系數計算公式就不能導出。因此，瑞典法的條底法向力公式不能表達成（23）式。

2.（24）式是錯誤的。因為由（23）式知與有關，而又與有關，故求對的偏導數不僅應求對（23）式中顯現的的偏導數，還應求對（23）式中所隱含的的偏導數（當然這一偏導數是求不出來的）；

3.（25）式只是得出了與無關或者說不存在使為極小值的的結論，并沒有說明等于時為極小值。這一錯誤結論是在求對的偏導數時未求對（23）式中所隱含的偏導數這一錯誤做法的必然結果，這是因為：求對的偏導數時不求對（23）式中所隱含的的偏導數意味著認為與無關。在將表達成的函數（參見（2）式和（10）式）時，函數中以外的各項均與無關，故認為與無關也即意味著認為與無關，這樣也就不存在使為極小值的。

4.瑞典法中并非每個土條條底法向力均為最?。m然有不少人認為瑞典法中每個土條條底法向力均為最小，這一觀點甚至被視為基本公識[5]，但這不是事實）。如：簡化畢肖普法中底面傾角大于0而兩側水平條間力合力小于0的那些土條，其條底法向力就小于瑞典法中相應土條條底法向力，這是因為：由（13）式知，當且時，有。

6 結論

1.在邊坡均質的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于簡化畢肖普法和斯賓塞法的結果。

2. 在無指向坡外的外加水平荷載的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于傳遞系數法的結果。

3. 在邊坡均質且無指向坡外的外加水平荷載的條件下計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果小于美國陸軍工程師團法和簡化簡布法的結果（對簡化簡布法而言，穩定系數系指穩定系數初值或修正系數不小于1的修正值）。

4. 在邊坡均質且無指向坡外的外加水平荷載的條件下用瑞典法、簡化畢肖普法、斯賓塞法、美國陸軍工程師團法、傳遞系數法和簡化簡布法計算同一個滑面為圓弧形的邊坡穩定系數時，瑞典法的結果最?。▽喕啿挤ǘ?，穩定系數系指穩定系數初值或修正系數不小于1的修正值）。

5. 在土坡無水壓力、無外加荷載、各土條條間力方向相同的條件下瑞典法穩定系數最小的現有證明是無效的。

   需要注意的是，本文中的圓弧形滑面是指人們通常理解的下凹的圓弧形滑面而非上凸的圓弧形滑面。

參考文獻：

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[2] 楊明成.邊坡穩定性分析的條分法及臨界滑動面的確定[D].重慶：后勤工程學院博士學位論文，2003.(YANG Mingcheng. Methods of slices and determination of critical slip surface for slope stability analysis[D].Chongqing:The docator degree dissertation of Logistical Engineering University, 2003.)

[3] 李廣信（主編）.高等土力學[M].北京：清華大學出版社，2004.(LI Guangxin eta.Higher soil mechanics[M].Beijing: Qinghua University Press, 2004.)

[4] 林 麗、鄭穎人.條分法的統一公式及其分析[A].巖土力學與工程進展[C].重慶：重慶出版社，2003.(LIN Li,ZHENG Yingren.Uniform formula and its analysis of Methods of slices[A].Development of geotechnical mechanics and engineering[C]. Chongqing: Chongqing Press,2003.)

[5] 周宏磊、張在明.關于邊坡穩定性分析中幾個問題的討論[A].工程勘察[J].2006(12).(ZHOU Honglei, ZHANG Zaiming.Discussion of several problems for slope stability analysis[A].Journal of Geotechnical Investigation & Surveying[J].2006(12).)